尾瀬ヶ原への日帰りならスニーカーでも大丈夫
履き慣れた靴のほうが楽。登山用でなくても問題ないよ。
鳩待峠から尾瀬ヶ原への日帰りなら「普段履き」でOK

別に山用でなくてもOK
最も人気で多数派、多くの人が「鳩待峠から尾瀬ヶ原への日帰り」です。
岩場やガレ場などの危険箇所も無く、尾瀬ヶ原は木道がしっかり整備されていますので、足を挫いたり滑り落ちたりすることもあまり無いでしょう。
実際かなりの割合で「非登山用シューズ」の方もいます。
雨さえ降らなければスニーカーやウォーキングシューズで全く問題なく、むしろ初心者的には普段から履き慣れた靴のほうが楽。
極論ですが晴天・濡れてなければサンダルでも大きな問題は無いくらい(さすがに見かけませんが)。感じ方や考え方は人それぞれなので、ご自身の判断で。
ベテラン・上級者ほど靴に拘る
ひとたび雨が降れば事態は一変!
木道はツルツル滑る所もあるし、林道はガレガレだし。
こうなるとサポートのしっかりした登山用の出番!踏ん張れるし多少の雨や水溜りなら浸水しない。シューズに頼れるのでとっても楽です。

防水・透湿はもちろん、サポートもしっかり。
靴はサイズも変わらず長年使えるので、この際ある程度良いものを購入されてみてはいかがでしょうか。
- 山登りしないなら柔らかい軽登山靴やトレッキングシューズ(軽く足に合いやすい)
- 岩場や山も行くつもりなら、硬くしっかりしたタイプ(挫きにくい)
- 防水・透湿機能があるに越したことはありません。(数千円程度の登山靴風シューズと山用・登山靴はここが大きく違います。)
- 大き目・厚手の靴下は多分間違い。ちゃんとショップで相談して。
新品下ろしたてで行かず、歩き慣らして行くこと。靴の失敗は旅行・ハイキング全体を台無しにしてしまいます。登山靴は用途・目的に応じて多種ありますから、しっかりお店で相談しましょう。
あらゆるシーンに適合する万能シューズは存在しないのだそうです。「尾瀬ハイク」用に新調したシューズが都市近郊ハイクほかに適しているとは限りません。信頼できるショップで相談することが重要です(尾瀬ハイクと都市近郊ハイクは同じシューズで良さそうですがw)。